آیا در گاز ساکن با گرادیان دما، گرادیان فشار وجود دارد؟

گازی را با معادله ایده آل حالت $P=n{k}_{B}T$، در یک ظرف مستطیلی ثابت با دو دیواره متقابل که در دماهای مختلف نگهداری می شود، در شرایطی که سلول های همرفتی وجود ندارد و حالت پایدار به دست آمده است، در نظر بگیرید. این تنظیمی است که می‌توان از آن برای اندازه‌گیری هدایت حرارتی استفاده کرد.
آیا در چنین گازی گرادیان فشار وجود دارد؟
قبل از پاسخ دادن به "نه، موارد زیر را در نظر بگیرید. استدلال برای عدم گرادیان فشار این است که اگر هر لایه معینی از گاز وجود داشت، فشارهای متفاوتی در هر دو طرف داشت و بنابراین تحت یک نیروی خالص قرار می گرفت، بنابراین شتاب می گرفت تا شرایط ثابت نباشد. این شرط است
 $P=\text{const}\Rightarrow nT=\text{const}$
در اینجا منظور ما از const مستقل از موقعیت و همچنین زمان است. با این حال، شار ذرات از یک لایه به لایه دیگر متناسب است
$n\overline{v}\propto n\sqrt{T}$
که در آن $\overline{v}$ میانگین سرعت است که متناسب با $\sqrt{T}$ محلی است، بنابراین برای کاهش این شار به صفر نیاز داریم
$n\sqrt{T}=\text{const}.$
(این مانند استدلال برای یکسان سازی افیوژن بین دو اتاق است که توسط دیواری با یک سوراخ کوچک از هم جدا شده اند.)
من فکر می کنم که در حالت ثابت، برای محفظه همانطور نمی توان یک شار خالص از ذرات وجود داشته باشد، زیرا ذرات نمی توانند به دیوارها نفوذ کنند، اما ممکن است یک گرادیان فشار وجود داشته باشد زیرا دیوارها می توانند آن را حفظ کنند. بنابراین من یک محاسبه دقیق تری از طریق نظریه جنبشی با توزیع ماکسول-بولتزمن وابسته به موقعیت انجام دادم و یک پاسخ میانی بین دو پاسخ فوق دریافت کردم.
$n{T}^{\nu }=\text{const}$
که در آن توان $\nu$ تقریباً 0.72 است.
اگر این درست است، پس استدلال به ظاهر غیرقابل انکار برای فشار یکنواخت چه اشکالی دارد؟ برعکس، اگر فشار یکنواخت است، استدلال من در مورد شار ذرات انتشاری چه اشکالی دارد؟
نکته اضافه شده: برای وضوح، می توانید فرض کنید که گرادیان دما در جهت عمودی است اگر بخواهید، اما من واقعاً موردی را می خواهم که گرانش کاملاً ناچیز باشد. شاید نباید به همرفت اشاره می‌کردم، اما می‌خواستم روشن کنم که در موقعیت مورد بحث هیچ جریانی در گاز وجود ندارد (این امر انتشار را رد نمی‌کند).
هیچ گرادیان فشاری وجود ندارد.
راه برای درک این موضوع یافتن یک راه حل ایستا برای معادله دینامیک سیالات است. معادله اویلر است
${\partial }_t\overrightarrow{v}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\nabla })\overrightarrow{v}=-\frac{1}{\rho }\overrightarrow{\nabla }P.$
ما یک راه حل استاتیک بدون جریان سیال می خواهیم،$\overrightarrow{v}=0$. این بدان معنی است که$\overrightarrow{\nabla }P=0$ و فشار در سراسر سیال ثابت است. این نتیجه با تنش های اتلاف اصلاح نمی شود (معادله ناویر-استوکس)، زیرا اگر $\overrightarrow{v}$